См. ответ на вопрос № 277219.
Запятая поставлена верно.
Да, все слова пишутся строчными, т. к. название не является официальным: в пресс-службе регионального министерства культуры сообщили...
С прописной следует написать Министерство культуры Украины, Министерство культуры России. А вот "наше министерство культуры" - со строчной.
В публицистическом тексте уместно написание строчными буквами.