Следует склонять: ...реки Вятки.
Чили может употребляться как существительное женского и среднего рода: далекая Чили и далекое Чили, Чили обрела и Чили обрело.
Ссылаться нужно не на правило, а на словари. В тех случаях, когда существительные второго склонения имеют в форме именительного падежа множественного числа ударное окончание -А, это обычно указывается в лингвистических словарях. См. здесь.
Следует писать с маленькой буквы.
Оборот как и другие регионы области надо выделить запятыми с двух сторон: Хотя, замечу, сильная засуха не обошла Добрушчину, как и другие регионы области, стороной.
Кавычки не нужны.
Это некорректное сочетание.
Напухнуть – просторечное слово, опухнуть – общеупотребительное и стилистически нейтральное. Грамотно: щека опухла.