Вопрос

Как правильно: поезд двигается или движется?

Глагол двигаться относится к так называемым избыточным, или изобилующим, глаголам, то есть к глаголам, имеющим параллельные формы в настоящем времени, в повелительном наклонении, а также деепричастные и причастные формы. Параллельные формы избыточных глаголов могут различаться стилистически и по смыслу.
Стилистически различаются, например, формы настоящего времени следующих глаголов:
алкать: алчу, алчешь, алчем, алчете, алчет - книжное и поэтическое (каждый алчет власти), алкаешь - нейтральное;
полоскать(ся): полощу(сь) - нейтральное, полоскаю(сь) – разговорное;
прыскать: прыщу – нейтральное, прыскаю - разговорное;
мурлыкать: мурлычу - нейтральное, мурлыкаю - разговорное.
По смыслу различаются такие, например, глаголы:
брызгать: брызгает — опрыскивать, окроплять; обдавать брызгами (не брызгай на пол; она всегда брызгает белье перед тем, как его гладить; брызгают комья грязи из-под колес грузовика); брызжет — 1) разбрасывать капли, искры, мелкие частицы чего-либо (водопад брызжет; вино брызжет; искры брызжут); 2) ярко обнаруживаться, резко, отчетливо проявляться (о чувствах, настроении и т. п.) (радость так и брызжет из глаз, ирония так и брызжет в каждом слове). Ср. также: буквально брызгает слюной кто-нибудь и  переносно брызжет слюной от возмущения, восторга.
капать: капает — падает каплями (вода капает с крыш), каплет — протекает, пропускает по каплям влагу (крыша каплет);
метать: мечет — бросает, разбрасывает (см. фразеологию: бисер перед свиньями мечет; икру мечет; рвет и мечет), метает — бросает с размахом, кидает, целясь куда-нибудь (спортивное, военное) (метает копье, молот, гранату).
Перечень актуальных для современной речевой коммуникации избыточных глаголов см. в книге: Граудина Л. К., Ицкович В. А., Катлинская Л. П. Грамматическая правильность русской речи: Стилистический словарь вариантов. М., 2001, с. 289—292.

Формы настоящего времени глагола двигаться  –движется и двигается различаются по смыслу в зависимости от значений глагола.

Двигаться:

1. Находиться в движении, перемещаться, направляться. Снежная лавина движется стремительно. На Москву движется /двигается ураган. К Солнцу движется странное газовое облако (Интернет); Нефтяное пятно движется в сторону Испании (Интернет); На Москкву движется вирус-убийца!
   Эпидемия движется в Москву с восточных территорий России; В Японское море со скоростью 45 метров в секунду движется тайфун «Чатаан» (Интернет); Дело не двигается (стоит на месте); Мышка (прибор) не двигается; Как движется лед? (Интернет); Речка движется и не движется (песня «Подмосковные вечера»);
2. Трогаться в путь, отправляться. Пора двигаться в дорогу;
3. Шевелиться (слегка двигаться), изменять положение тела. Медведь двигается в берлоге;
4. Обладать способностью движения. Ноги не двигаются (не может ступить, идти куда-нибудь); Экспериментальный поезд двигается без машиниста?
5. Перен. содействовать развитию чего-либо, побуждать, руководить. Поиск ответа на этот сложнейший вопрос движет развитие современной биологии (из газет); Куда движется управленческая мысль (Интернет);

При употреблении глагола двигаться в 1-м и 3-м значениях возможны обе формы — 1 значение: Мы движемся / двигаемся в ногу со временем (фраза с формой движемся воспринимается более традиционной); 3 значение: Руки фокусника движутся / двигаются с необыкновенной быстротой. Вместе с тем форма двигается в современной литературной речи предпочтительней. Не исключено, что такое предпочтение поддерживается употреблением только этой формы, когда глагол двигаться выступает в 4-м значении «обладать способностью к движению»: У этой куклы руки-ноги, даже пальчики двигаются.
Когда глагол двигаться выступает во 2-м значении, используется только форма двигается: Машина двигается (не движется!) с места; Поезд двигается в путь; но: Автомобиль движется / двигается (= перемещается, передвигается) быстрее поезда.
В 5-м, переносном, значении чаще всего употребляется форма движет: И слово движет. И земля горит! Тьма багрова. Могильный холм учеными разрыт: Сосуд. Потерли — и сверкнуло слово (Е. Винокуров. Слово). (Переносное значение глагола двигаться, комментарий употребления этого слова в таком значении взяты из упомянутого «Стилистического словаря вариантов», с. 285.)

Деепричастие от двигаться — двигаясь. В «Кратком словаре трудностей» (Еськова 2000) приведена и форма движась с пометой употр. несвободно.

Правильно

Поезд двигается (= начинает движение) в путь. В значении «перемещается, передвигается» равноправные варианты: поезд двигается / движется медленнее автомобиля.

Различай

двигается и движется.