Грамматически правильно: Девочка несётся через луг к ручейку, протекающему в низине. Но стилистически предложение неудачно. 

С новосельем! :)

Правильно: Кашёнкин Луг.

Правильно с прописной, т. к. нарицательные существительные употреблены здесь не в своем обычном значении (сейчас это микрорайоны, а не аэродром и не луг).

Верно с кавычками, тире и пробелами: ДС «Серебрянка» — ДС «Зеленый Луг».

Правильно: лугский. Прилагательное лужский образуется от названия города Луга.

В этом предложении ставить запятые не нужно.

Нужна только первая запятая, разделяющая однородные определения — согласованное и несогласованное. Правило таково: запятая ставится при сочетании согласованных и несогласованных определений (несогласованное определение помещается после согласованного), ср.: Между тем в приземистой, с коричневыми стенами зимовке Клюшиных действительно горела слегка увернутая семилинейная лампа; Она сняла со стола толстую, с бахромой скатерть и постелила другую, белую.