Верно: помолиться Богу.
Буквы - строчнЫе.
Разницу в значениях можно узнать в нашем толково-словообразовательном словаре (окно «Искать на Грамоте»). Большинство словарей дают помету 'разговорное' к глаголу распрощаться.
Правильно: помериться силой и силами.
Существуют слова: стричься, постричься и подстричься. О различиях см. здесь.