Если "не остыла" степь, то исправление верно. Если "не остыл" ветер (теплый!), то верен авторский вариант.

Корректно написание строчными буквами.

Требуется обособление. Определительный оборот выделяется запятыми, если он отделен от определяемого слова другими членами предложения.

По степи, не успевший остыть за ночь, тянется теплый ветер.

Правильно: под Николаевом (если речь о городе Николаев).

Пожалуйста, выполните домашнее задание самостоятельно. Возникнут трудности – постараемся помочь.

Слово подарок здесь употреблено явно в ироническом значении, поэтому кавычки нужны.

Полное прилагательное типа бескрайний, конечно, может играть роль сказуемого; для полного действительного причастия типа холодящий эта роль гораздо менее естественна, сравним: *Звёзды холодящие до дрожи — Звёзды холодят до дрожи (здесь явно предпочтителен второй вариант, со спрягаемой формой глагола). Вместе с тем оба приведенных Вами предложения будут в полной мере соответствовать нормам русской грамматики, если считать, что это номинативные (назывные) предложения — односоставные предложения с главным членом-подлежащим, в которых сообщается о существовании и наличии предмета. В данном случае они содержат распространители — согласованные распространенные определения, находящиеся после определяемого слова. Такие распространители выделяются запятыми: Одиночество, бескрайнее, как степи, Звёзды, холодящие до дрожи.

Возможны варианты в зависимости от условий контекста. См.: http://www.gramota.ru/spravka/letters/?rub=bolshinstvo