Запятые не ставятся, если "почему" - единственное слово в придаточной части предложения.
Предложение построено неудачно. Не рекомендуется в качестве однородных компонентов использовать член предложения и придаточное предложение (Он не знает (о чем?) о своем долге и (еще о чем?) почему хозяин посылает своего посыльного к нему). Предложение желательно перестроить, например так: Он не знает о своем долге и о том, почему хозяин посылает своего посыльного к нему. Если предложение перестроить нельзя, то отсутствие запятой можно обосновать правилом об однородных членах предложения, соединенных одиночным союзом и.
Во фразе Объясните почему запятая не нужна, так как придаточное предложение, состоящее из одного союза или союзного слова, запятой не отделяется. Вариант с указательным словом то грамматически некорректен, его лучше не употреблять.
Запятая перед почему не нужна.
Да, запятую надо ставить: Мне интересно, почему они белые. Мне любопытно, почему он ушел.
Правильно: Почему Вы не едите?
В предложении Узнай почему запятая не ставится. Придаточное предложение, состоящее из одного только союзного слова, не отделяется запятой.
Написание наречия вволю установлено в словарном порядке, то есть определенного правила, почему именно это слово пишется слитно, нет.