Верно с прописной буквы: Московский регион.
Слово улица здесь лишнее. Правильно: Московский проспект.
Правильно: окончил Московский энергетический институт.
Корректно: Московский регион.
Правильно: Московский государственный ансамбль танца «Русские сезоны».
Написание правильно, если официальное название музея – Мемориальный музей космонавтики. Если же прилагательное московский входит в официальное название музея, то правильно: Московский мемориальный музей космонавтики.