Верно без кавычек: на отлично.

Деепричастный оборот употреблен корректно.

Специальных правил для закавычивания слова "отлично" нет. Кавычки используются в таких конструкциях: оценка "отлично", слово "отлично" и т. д. Но: сдать на отлично (без кавычек).

Выражение на ять (сделать что-либо) означает «сделать на отлично», его происхождение связано с тем, что раньше самой большой трудностью для изучавших русский язык было научиться правильно писать буквы Е и «ять» (когда-то эта буква обозначала особый звук, но позже этот звук совпал с Е, а буква «ять» оставалась на письме, и бедным ученикам приходилось учить наизусть все слова, где был «ять»).  О том, кто легко справлялся с этой премудростью, говорили, что он все делает «на ять». А сегодня это выражение перекликается с оборотом «сделать на пять», т. е. на пятерку.