Верно: Санкт-Петербургский государственный университет.

Различий нет, слово санкт-петербургский можно употреблять в любом контексте.

Так как это не имя собственное, корректно написание с маленькой буквы: санкт-петербургский производитель.

Правильно: Санкт-петербургский филиал (в начале предложения), санкт-петербургский филиал (в середине предложения).

Правильно: Занятия проводятся в НОУ «Санкт-Петербургский центр электросвязи». Заключаемое в кавычки название, не сочетающееся синтаксически с родовым словом (НОУ), не склоняется.

В названиях организаций с прописной буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные. Правильно: Международная конфедерация союзов художников, Московский союз художников, Санкт-Петербургский союз художников.

Есть слово санкт-петербургский, вторая часть которого пишется со строчной. Даже в начале предложения.

Вы написали верно.

Общее правило таково: условные наименования фирм, организаций, предприятий и т. п. заключаются в кавычки. Случаи, когда название организации совпадает с именем собственным или нарицательным существительным, исключениями не являются. Правильно: компания «Россия», фирма «Витязь», ООО «Металлург» и т. п.
Теперь о родовых словах. Слова ООО, ЗАО и т. п. являются точно такими же родовыми словами, как компания, фирма и т. п., поэтому постановка кавычек от этого не зависит. Правильно: ООО «Бревитор», компания «Бревитор» и (без родового слова) «Бревитор».
Без кавычек пишутся только некоторые названия организаций, представляющие собой сложносокращенные слова и аббревиатуры (при этом наличие родового слова в ряде случаев влияет на постановку кавычек, в ряде случаев - не влияет). Без кавычек часто пишутся и названия фирм, написанные латиницей.
Правильно: Нью-Йоркский, Санкт-Петербургский (как первое слово в официальном названии организации).

Правильно со строчной: санкт-петербургская компания. В начале предложения: Санкт-петербургская компания...