Верно: На должность заведующего терапевтическим отделением... Подробнее см. в вопросе 243193.

В документах правильно: подсобный рабочий.

Если это часть предложения, верно: Какую бы должность вы ни занимали... (вам в любом случае нужно заполнить эту таблицу).

Можно в обоих случаях использовать мужской род, но допустимо и согласование по женскому роду.

Заведующая. Но допустимо в некоторых текстах и заведующий.

См. здесь.

По правилам русской орфографии названия должностей, званий, титулов пишутся со строчной буквы, напр.: президент, канцлер, председатель, министр, премьер-министр, заместитель министра, мэр, император, королева, хан, шейх, генеральный секретарь, заслуженный деятель культуры, лауреат Нобелевской премии, посол, атташе, директор, генеральный директор, академик, доктор наук, профессор, член-корреспондент, генерал-майор, командующий войсками, руководитель департамента, заведующий отделом, управляющий делами. Исключение делается только для названий высших государственных должностей и титулов в официальных текстах, напр.: Президент Российской Федерации, Председатель Правительства РФ, Председатель Государственной думы, Премьер-министр Индии, Её Величество Королева Англии.

Корректное название должностей: заведующий отделом обслуживания, заведующий читальным залом. Соответственно в контексте: принята на должность заведующего отделом обслуживания; принята на должность заведующего читальным залом.