Сокращенные названия этих организаций корректно писать с большой буквы.
Корректно писать в соответствии с официальным наименованием – с прописной буквы.
Согласно «Общероссийскому классификатору стран мира» официальное название: Папский Престол (Государство-город Ватикан). В обиходной устной и письменной речи, при неофициальном употреблении обычно используется только слово Ватикан.