Корректно: к мосту.
Верно: Он и она стояли на мосту.
Верно: на мосту.
Верно: Троицкий мост, мост Золотые Ворота, мост Риальто, мост Харбор-Бридж, мост Александра III, мост Вздохов.
Правильно: Я стою на мосту.
Идти по мосту – дательный падеж (по чему?).