Правильно: Приемная комиссия ... государственного университета и в выходные дни трудилась не покладая рук.
Устойчивый оборот: не покладая (чего?) рук. Рук - форма мн. ч. род. п.
Деепричастный оборот, представляющий собой фразеологизм, не выделяется запятыми: работает не покладая рук, сидит затаив дыхание, бежит сломя голову и т. д.