Правильно: Первый крестовый поход.
Правильно: московское время, Игорев поход.
Кавычки нужны, запятая не требуется. Корректно: «Великий поход» – так леди Амалия называла это.
По ходу (в роли вводного слова в просторечии) – вероятно, от сочетания "по ходу дела".
Написание стилистически сниженных слов кодифицируется академическим орфографическим словарем. О слове походу см. ответ на вопрос № 307574.
По ходу вместо похоже - это просторечие.