Оба варианта возможны: писать по-русски, писать на русском языке.
Правильно: по-русски.
По-русски (?) корректно: квест-рум (по аналогии со словом шоу-рум, зафиксированным «Русским орфографическим словарем» РАН).
По-русски пишется все включено.
Нет, по-русски так не говорят.
По-русски английское travel корректно передавать как тревел. «Русский орфографический словарь» РАН (4-е изд., М., 2012) фиксирует такие написания, как тревеллинг, тревел-чек.
Да, по-русски тоже следует писать Костанай, именно такой вариант фиксируют сейчас словари собственных имен.
По-русски верно только: увертюра.
По-русски эти фамилии передаются так: Качиньский, Качиньская. Фамилии склоняются, как и русские фамилии на -СКИЙ, -СКАЯ.