Правильно: стрижка каре.
Верно: стрижка квифф.
Корректно: мальчишеская стрижка.
Да, подо Львовом - корректно. Как и под Львовом.
Нет, прилагательное пенсионный означает «относящийся к пенсии, связанный с ней» (например, пенсионный возраст – возраст выхода на пенсию).