Если свинину тушили с капустой, тогда корректно: свинина, тушенная с капустой. Если же к тушеной свинине добавили капусту, правильно: свинина тушёная с капустой (=тушёная свинина с капустой).

Написание зависит от смысла: кабачок тушёный с помидорами = тушёный кабачок плюс помидоры (помидоры не имеют отношения к процессу тушения); кабачок, тушенный с помидорами = кабачок, который тушили вместе с помидорами.

С одним Н пишется прилагательное тушёный: тушеная капуста. С двумя Н пишется причастие тушенный: тушенная в горшочке капуста.

Написание регулируется правилом о правописании суффиксов причастий.

Правильно: лапки кролика тушёные.

Если кусочки курицы тушили с шампиньонами, тогда правильно именно так, как предлагает корректор: кусочки курицы, тушенные с шампиньонами. Если же к тушеным кусочкам курицы потом добавили шампиньоны, верно: кусочки курицы тушеные с шампиньонами (= тушеные кусочки курицы с шампиньонами).