Общее правило таково: условные наименования фирм, организаций, предприятий и т. п. заключаются в кавычки. Случаи, когда название организации совпадает с именем собственным или нарицательным существительным, исключениями не являются. Правильно: компания «Россия», фирма «Витязь», ООО «Металлург» и т. п.
Теперь о родовых словах. Слова ООО, ЗАО и т. п. являются точно такими же родовыми словами, как компания, фирма и т. п., поэтому постановка кавычек от этого не зависит. Правильно: ООО «Бревитор», компания «Бревитор» и (без родового слова) «Бревитор».
Без кавычек пишутся только некоторые названия организаций, представляющие собой сложносокращенные слова и аббревиатуры (при этом наличие родового слова в ряде случаев влияет на постановку кавычек, в ряде случаев - не влияет). Без кавычек часто пишутся и названия фирм, написанные латиницей.
Правильно: Нью-Йоркский, Санкт-Петербургский (как первое слово в официальном названии организации).

Корректно: согласно письму ГУ «Санкт-Петербургский центр по метеорологии...».

Верно: Санкт-Петербургский государственный университет.

Правильно со строчной: санкт-петербургская компания. В начале предложения: Санкт-петербургская компания...

Так как это не имя собственное, корректно написание с маленькой буквы: санкт-петербургский производитель.

Вы написали верно.

Корректно: на узле.

Справочники дают варианты петербургский и петербуржский как равноправные. Но в следующем случае корректен только один вариант: санкт-петербургский.

Есть слово санкт-петербургский, вторая часть которого пишется со строчной. Даже в начале предложения.