В тех случаях, когда четко указывается женский пол детеныша (как здесь - с помощью имени Настя), следует ставить определения в форму женского рода: дрессированная, обученная.
Склонять как Франция, Россия, хвоя.
Возможные варианты: Она часто задавалась вопросом: за что? и Она часто задавалась вопросом: «За что?»