Сочетание старый как мир является устойчивым, запятая не ставится.

Верно с маленькой буквы: карта мира.

Доступнее - нейтральный вариант, доступней - разговорный.

Возможные варианты: любимой экранизации романа "Война и мир" и любимой экранизации "Войны и мира".

Запятая не нужна.

Корректно: откроется мир, который прежде никто не видел.

Слово мир относится к праславянскому пласту лексики, имеет соответствия в современных славянских языках (чешском, сербском и др.), имеет родственные связи в балтийских языках, в латыни (mitis 'нежный, спокойный') и древнеиндийском (mitras 'друг').

Указанная запятая не требуется.

Слово мир пишется со строчной буквы. С прописной буквы пишется имя собственное Мир в составе топонимов (проспект Мира, улица Мира); написание Мир возможно также в том случае, если этому слову по воле автора приписывается особый высокий смысл.