Правильно: в Царицыне и в Царицыно. Правила см. в «Письмовнике».
Правильно: Царицыно, встреченное Вами написание – орфографическая ошибка.
Возможны оба варианта. Подробнее см. "Письмовник".
Правильны оба варианта. Подробнее см. в «Письмовнике».
Нет, кавычки не нужны.