Правильно: не прекращающийся ни на минуту дождь. Слова ни на минуту усиливают отрицание, что способствует раздельному написанию.
Запятая не нужна, однако сочетание "задумывается на просьбу" некорректно.
Запятая перед и не требуется.
Верно раздельное написание: не смолкающий ни на минуту.
Верно раздельное написание (вспомните правило про НЕ с глаголами).
Правильно раздельное написание: Не смолкавшие ни на минуту раскаты грома.