В Вашем примере уместно написание со строчной буквы. Прописная используется, если это официальное название парка (и в официальном документе, в иных случаях также корректно со строчной).
Сочетание Национальный парк рекомендуется писать с прописной буквы. (См.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011; Розенталь Д. Э. Справочник по русскому языку. Прописная или строчная? М., 2005.) Во мн. числе правильно написание со строчной буквы.
Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.
Корректно: Национальный парк «Паанаярви».
Правильно: национальный парк «Окаменелый лес».
Правильно: национальный парк «Озеро Накуру».